ДЛИНА КРИВОЙ И ЦЕНТР МАСС

Здравствуйте, уважаемые студенты вуза Аргемоны!

Мы начинаем последний модуль курса "Магия функций и интегралов". На первом уроке мы научимся находить длины кривых. Известно, что не всегда можно вычислить длину кривой и даже, чаще, точно её вычислить невозможно. А вот если известно, по какому закону эта кривая получается, то проблем нет. Надо только знать нужные заклинания. Вот сейчас с ними и познакомимся.

Как вы уже помните из прошедших курсов, кривая может задаваться тремя видами:
- в обычных декартовых координатах;
- в параметрическом виде;
- в полярных координатах.

И для каждого вида существует своё заклинание для нахождения длины части кривой. Вот они все три:







В общем-то, я даже пример не буду показывать, потому как всё понятно. Остаётся лишь на практике потренироваться. Понятно, что не всегда декартовый вид кривой удобен для подсчёта. Напротив, он бывает очень громоздкий, и поэтому тогда лучше использовать параметрический вид кривой. А если кривая - "круглая", то тогда лучше использовать её вид в полярных координатах.

Можно ещё остановиться на таком моменте как центр масс кусочка кривой. Координаты такой точки считаются аналогично координатам центра масс для плоской фигуры, только делить надо не на площадь, а на длину дуги. Тут интересен вопрос: как понимать центр масс кривой? Если аналогично центру масс фигуры, то значит в этой точке сосредоточена вся масса данной кривой. Вот центр масс для ровного отрезка прямой будет находиться в середине этого отрезка, а для изогнутой кривой - эта точка будет лежать вне самой кривой. И как тогда её рассматривать? Может именно с этой точки, если на неё подействовать магической силой, магия будет распространяться далее и захватит собой всю кривую? Это вот такая мысль возникла вдруг. То есть основная магия будет всё же действовать на центр масс, а её "поле" - на всё остальное. И тогда поле как будто коконом опутает кривую, и можно будет с ней делать то, что задумал.
Ну это только размышления. Можете тоже поразмышлять на досуге. В домашнее задание это не войдёт.

Домашнее задание:

1. Традиционный вопрос. Где бы маги могли применить знания этого урока?

2. Я не буду давать какие-то конкретные кривые. Предлагаю вам самим выбрать, что посчитать. Можете использовать лекции трёх предыдущих курсов. Желательно, чтобы вы использовали кривые всех трёх видов, указанных в лекции.
Даже можно обыграть некую ситуацию в магической практике с параллельным подсчётом кусочков кривых. В дальнейшем, на основе этого ответа можно будет написать кусочек курсовой. То есть этот ответ - как подготовка.
Порекомендую, правда, использовать обязательно одну замечательную кривую - спираль Архимеда.



Если интеграл тяжело берётся - не мучайтесь, приходите на консультацию. Именно в этом случае могут понадобиться дополнительные заклинательные формулы, которые мы не рассматривали на уроках, но которые магами вычислены, и их вполне можно использовать.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной