Разбираемся с магией гиперболы

Здравствуйте, дорогие студенты вуза Аргемоны! Приветствую вас на очередной лекции по магии функций и интегралов.

Сегодня мы поговорим о гиперболе. Начнём от простого. Самый простой вид гиперболы:

   (1)

Эта функция, в отличии от прямой в её стандарных видах, имеет особенность. Как мы знаем, знаменатель дроби не может равняться нулю, потому что на ноль делить нельзя.
x ≠ 0
Отсюда делаем вывод, что областью определения является вся числовая прямая, кроме точки 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Если х стремится к 0 справа (записывается вот так: х->0+), т.е. становится очень-очень маленьким, но при этом остаётся положительным, то у становится очень-очень большим положительным (y->+∞).
Если же х стремится к 0 слева (x->0-), т.е. становится по модулю тоже очень-очень маленьким, но остаётся при этом отрицательным, то у также будет отрицательным, но по модулю будет очень большим (y->-∞).
Если же х стремится в плюс бесконечность (x->+∞), т.е. становится очень большим положительным числом, то у будет становиться всё более и более меньшим положительным числом, т.е. будет стремиться к 0, оставаясь всё время положительным (y->0+).
Если же х стремится в минус бесконечность (x->-∞), т.е. становится большим по модулю, но отрицательным числом, то у будет тоже отрицательным всегда числом, но маленьким по модулю (y->0-).

у, как и х, не может принимать значения 0. Он только к нулю стремится. Поэтому множество значений такое же, как и область определения: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Исходя из этих рассуждений, можно схематически нарисовать график функции



Видно, что гипербола состоит из двух частей: одна находится в 1-м координатном углу, где значения х и у положительные, а вторая часть — в третьем координатном углу, где значения х и у отрицательные.
Если двигаться от -∞ к +∞, то мы видим, что функция наша убывает от 0 до -∞, потом происходит резкий скачок (от -∞ до +∞) и начинается вторая ветка функции, которая тоже убывает, но от +∞ до 0. То есть, эта гипербола убывающая.

Если совсем чуть-чуть изменить функцию: воспользоваться магией минуса,

   (1')

то функция чудесным образом переместится из 1 и 3 координатных четвертей во 2-ю и 4-ю четверти и станет возрастающей.



Напомню, что функция является возрастающей, если для двух значений х₁ и х₂,таких, что х₁<х₂, значения функции находятся в том же отношении f(х₁) < f(х₂).
И функция будет убывающей, если f(х₁) > f(х₂) для тех же значений х.

Ветви гиперболы приближаются к осям, но никогда их не пересекают. Такие линии, к которым приближается график функции, но никогда их не пересекает, называются ассимптотой данной функции.
Для нашей функции (1) ассимптотами являются прямые х=0 (ось OY, вертикальная ассимптота) и у=0 (ось OX, горизонтальная ассимптота).

А теперь давайте немного усложним простейшую гиперболу и посмотрим, что произойдёт с графиком функции.

   (2)

Всего-то добавили константу "а" в знаменатель. Добавление какого-то числа в знаменатель в качестве слагаемого к х означает перенос всей "гиперболической конструкции" (вместе с вертикальной ассимптотой) на (-a) позиций вправо, если а — отрицательное число, и на (-а) позиций влево, если а — положительное число.

     

На левом графике к х добавляется отрицательная константа (а<0, значит, -a>0), что вызывает перенос графика вправо, а на правом графике — положительная константа (a>0), благодаря которой график переносится влево.

А какая магия может повлиять на перенос "гиперболической конструкции" вверх или вниз? Добавление константы-слагаемой к дроби.

   (3)


Вот теперь вся наша функция (обе веточки и горизонтальная ассимптота) поднимется на b позиций вверх, если b — положительное число, и опустится на b позиций вниз, если b — отрицательное число.

     

Обратите внимание, что ассимптоты передвигаются вместе с гиперболой, т.е. гиперболу (обе её ветки) и обе её ассимптоты надо обязательно рассматривать как неразрывную конструкцию, которая едино передвигается влево, вправо, вверх или вниз. Очень приятное ощущение, когда одним добавлением какого-то числа можно заставлять функцию целиком двигаться в любую сторону. Чем не магия, овладеть которой можно очень легко и направлять её по своему усмотрению в нужную сторону?
Кстати, так управлять можно движением любой функции. На следующих уроках мы это умение будем закреплять.

Перед тем как задать вам домашнее задание, я хочу обратить ваше внимание ещё вот на такую функцию

   (4)

Нижняя веточка гиперболы перемещается из 3-го координатного угла вверх — во второй, в тот угол, где значение у положительное, т.е. эта веточка отражается симметрично относительно оси ОХ. И теперь мы получаем чётную функцию.



Что значит "чётная функция"? Функция называется чётной, если выполняется условие: f(-x)=f(x)
Функция называется нечётной, если выполняется условие: f(-x)=-f(x)
В нашем случае

   (5)


Всякая чётная функция симметрична относительно оси OY, т.е. пергамент с рисунком графика можно сложить по оси OY, и две части графика точно совпадут друг с другом.

Как видим, эта функция тоже имеет две ассимптоты — горизонтальную и вертикальную. В отличие от рассмотренных выше функций, эта функция является на одной своей части возрастающей, на другой — убывающей.

Попробуем поруководить теперь этим графиком, прибавляя константы.

   (6)


Вспомним, что прибавление константы в качестве слагаемого к "х" вызывает перемещение всего графика (вместе с вертикальной ассимптотой) по горизонтали, вдоль горизонтальной ассимптоты (влево или вправо в зависимости от знака этой константы).




   (7)


А добавление константы b в качестве слагаемого к дроби вызывает перемещение графика вверх или вниз. Всё очень просто!



А теперь попробуйте сами поэкспериментировать с такой магией.

Домашнее задание 1.

Каждый берёт для своих экспериментов две функции: (3) и (7).
а=первой цифре вашего ЛД
b=второй цифре вашего ЛД
Попробуйте добраться до магии этих функций, начиная с простейшей гиперболы, как я это делала на уроке, и постепенно добавляя свои константы. Функцию (7) уже можете моделировать, исходя из конечного вида функции (3). Укажите области определения, множество значений, ассимптоты. Как ведут себя функции: убывают, возрастают. Чётные — нечётные. В общем, попробуйте провести такое же исследование, как было на уроке. Возможно, вы найдете что-то ещё, о чём я забыла рассказать.

Кстати, обе ветки самой простейшей гиперболы (1) симметричны относительно биссектрисы 2 и 4 координатных углов. А теперь представьте, что гипербола стала вращаться вокруг этой оси. Получим вот такую симпатичную фигуру, которой можно найти применение.



Задание 2. Где можно использовать данную фигуру? Попробуйте нарисовать фигуру вращения для функции (4) относительно её оси симметрии и порассуждайте, где такая фигура может найти применение.

Помните, как мы в конце прошлого урока получили прямую с выколотой точкой? И вот последнее задание 3.
Построить график вот такой функции:


   (8)


Коэффициенты a, b — такие же, как в задании 1.
с=третьей цифре вашего ЛД или a-b, если ваше ЛД двузначное.
Небольшая подсказка: сначала полученную после подстановки цифр дробь надо упростить, и затем вы получите обычную гиперболу, которую и надо построить, но в конце надо учесть область определения исходного выражения.

Удачи!

Отправляйте работы через ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Свои вопросы смело можете передать с Персефоной